诗人和城市（2）------ 桑德堡和我

（一）
一个夏天的傍晚，我和汤姆开车经过宾州亚当斯县的一个小镇。远山与广垠的麦地相连，田野上是零星的红墙白窗的农舍，谷仓，棕白相间的牛群，和双轮的木滚车。太阳落山了，天空被落日染得通红，如同火烧一般。慢慢地，黑云飘过来，霞光把一朵朵云镀上金紫色，象一匹匹披金戴银的马，天变得很低，河边的树只剩下一抹轮廓。最后的阳光支离破碎，血流如注，黄昏如同旌旗摇曳，尸骨遍地的古战场，大地如荒野，美艳狰狞。

汤姆突然说：“前面就是盖斯堡的战场，我的前世一定是个李将军的战士。每次经过这里，我都像中弹一样，血一滴滴地流，我躺在原野上，举目向天，天空就是这般残阳如血。”

我笑了：“你这个佛吉尼亚出生的人，太爱你的家乡了。”有一次我去他的詹姆斯镇的老家，拍了许多照片。他一张张地给我注明了街道，教堂，商店，学校的名字，每家餐馆的招牌菜和小酒馆里发生过的风流韵事。

我不知道我的前世如何，可有一个前世的老友，时时相会。不知是他淌过烟云模糊，水流汨汨的岁月到今生此地找我，还是我梦里回肠，时空倒转地寻他。

十五，六岁时，读到了卡洛。桑德堡的《芝加哥》：

我这样回答后．转过身，对那些嘲笑我的城
市的人，我回敬以嘲笑，我说：
来呀，给我看别的城市，也这样昂起头，骄
傲地歌唱，也这样活泼、粗犷、强壮、机灵。
他把工作堆起来时，抛出带磁性的咒骂，在
那些矮小展弱的城市中，他是个高大拳击手。
凶狠如一只狗，舌头伸出准备进攻，机械有
如跟莽原搏斗的野蛮人；
光着头，
挥着锹，
毁灭，
计划，
建造，破坏，再建造，
在浓烟下，满嘴的灰，露出白牙齿大笑，
在命运可怕的重负下，像个青年人一样大笑，
大笑，像个从未输过一场的鲁莽斗士，
自夸，大笑，他腕下脉搏在跳，肋骨下人民
的心在跳，大笑！
笑出年青人的暴躁、魁伟、喧闹的笑、赤着
上身，汗流浃背，他骄傲，因为他是猪屠
夫，工具匠，小麦存储者，铁路运输家，
全国货物的转运人。

那时候，我对芝加哥唯一的知识就是它是五一劳动节的发源地，这首诗，使他作为“芝加哥诗人”闻名于世，我开始向往这个雄健的城市。

又过了些年，我第一次来到芝加哥，却着实惊艳。密执根湖的湖水是碧蓝的，白色的帆船上几只水鸟掠过。岸边草地青翠，鲜红的野山楂如火如荼，墨绿的枝叶闪亮，风吹过，果子怦怦地跌落在地上。芝加哥河上，一座座棕红色的铁桥跨越两岸。街道上长满了风格各异的建筑物，阳光反射在直耸云天的玻璃墙面上。咖啡馆的窗台上开满了鲜花，流浪艺人唱着凄凉的蓝调，美丽的大理石雕像，大花园里的喷泉，一幢幢维多利亚时代的石砖雕花小楼。只有那高速公路上水泄不通的车流，架在人们的头上的，发出轰隆的噪响的铁轨，让我记起了这首诗。

搬到芝加哥的第一个周末，我突然想到了这个诗人。街口有个书店， 一进去是星巴克咖啡，墙上是狄更生，马克吐温的画像，狄更生的羽毛笔和他的头发一样白，马克吐温抽着大烟斗。我在诗歌柜台的角落里，找来找去，终于找到了桑德堡的《芝加哥诗抄》，棕色的封面上是他消瘦凹陷的面孔。

我一页一页地读，发现可以把这本书当作芝加哥的地图用。

（二）
在这个城市里，桑德堡似乎无处不在。他在芝加哥的港口，大街小巷，河边的柳树下和鸟语呢喃的墓地里，还在警察，修路工，卖热狗的小贩和上班的人群里。

秋天的早上，我经过湖畔大道去上班，粉色的玫瑰，金黄的菊花和粉兰色鸢尾花开满了一地，可半人高的灰黄色的芦苇却有离离原上草的荒芜和凄凉，雾蒙蒙的湖上有一条孤零零的船，我想起了他的诗：

雾来了，
踮着猫的细步。

他弓起腰蹲着，
静静地俯视
海港和城市，
又再往前走。
-----《雾》

有时候，我经过Halsted街，看见一辆汽车开过来，坐满了人，他也见过这样的车：

一宿的睡眠后
在潮湿的黎明
清凉的晨光中
他们的脸上
是疲倦的希望
和空洞的梦想
-----《Halsted街车》

一个冬天的傍晚，漫天飞雪，街上空荡荡的，我经过林肯公园，那座被誉为美国最著名的林肯铜像在昏黄的街灯里发着蓝幽幽的光。林肯披着一身雪花，安静地站在那里，忧郁的双眼依然凹陷着，温柔深情地望着这块被称为“林肯之地”的土地。他的边上，是坐着的莎士比亚，一个骑马的轻捷的印第人，和穿着大氅的当年统一意大利的劳苦功高的军官朱塞佩•加里波底。几十年前的一个冬夜，也下着雪，桑德堡穿着一件长呢子大衣，戴着围巾，也路过这里，他也看到了他们。他说：

林肯在白茫茫的雪中站着
他的前额回荡着伊尔河畔死去的四万士兵的哭声
他的耳朵听到了他脚下的城市混浊的咆哮
-----《铜像》

我住的小区的管理员是个从南斯拉夫逃到美国来的年轻人，他原来是个艺术家，可在这里，他就是每天打扫卫生，铲雪，修理电线，他美丽的太太还在家乡。桑德堡曾为无数像他一样的人写过：

我知道他是一个干粗活的人
每天挣块把钱
有个黑眼睛的女人在老家的村庄里，做着梦
为这个勤奋的男人准备了
娇柔的嘴唇和亲吻，胜过
所有图斯卡的野葡萄
-----《一个苦力》

恩典墓园是芝加哥最著名的墓地。建于1860年，里面埋葬着芝加哥的第一个市民，以及城市里许多历史上最有名的政治家，艺术家和商人。高大的围墙里，庭院深深，古树参天，鸟声清脆。墓碑都是著名建筑师设计的：穿长袍子把脸埋臂弯里的青铜女人，象征着生命突然破碎的断石残瓦，早逝的美丽纯洁的女孩坐在凳子上，两条金黄的辫子，连衣裙上有层层的荷叶花边，肩上背着草帽。。。远处，火车轰隆隆地开过，这里是一个突然凝固的村庄。可是桑德堡在这个死亡的花园里，却看到了人间的不公平：

两万五千块钱存在那里
于是玫瑰，丁香，绣球和郁金香
香气和美色，怀念的甜蜜
围绕着他最后渴望的家

（一百个收款的姑娘要零币去看今夜的电影
在小酒馆的隔间里，女人们坐在桌边
陪男人喝酒，窥视着他们
口袋里叮叮作响的银元）
-----《恩典墓地》

下了班，我要跨过Clark街上的铁桥回家，芝加哥河在黄昏里泛着银亮的波纹，行人们来去匆匆，冬天天黑的早，星星和路灯交织闪烁着：

破碎的心的歌声
在唱在唱
银色的歌声
在唱在唱
比星星更温柔
比雾更温柔
----- 《Clark街上的铁桥》

（三）
四月的周末，我要去一个位于密西西比河畔的城市。早春的大地一望无际，平坦地伸向远方，莽草丛丛，零星的树，新鲜的绿叶，盛开的花，麦芽抽穗，泥土散发着太阳温暖的光芒和干燥的香气。沿途是一个连一个的小镇，红色的教堂上挂着白色的十字架，朴素细碎的青砖地，卖旧家具的店大门敞开着，门口还放着几张老式的椅子，老宅子的斑驳石阶上，卧着胖胖的猫，有个老妇人杵着拐站在家门口，出神地望着远处，几个小姑娘摆个小摊，卖柠檬水和饼干。。。傍晚时分，一层轻轻的薄雾飘来飘去，倒是像村庄上的袅袅的炊烟了，甜蜜又温柔，伊利诺斯的别称是“草原州”。我迷了路，看见前面有座围篱笆的白色小木屋，就停下来准备问路。

院子前面竖着一块牌子，原来这是桑德堡的故居。1878年1月6号，他就出生在这个只有3间屋子的小平房里，是7个孩子中的老二。父母都是瑞典移民，爸爸是个铁匠，每天做工10个小时，没有节假日。桑德堡就在这个镇子上长大，8年级退了学，送牛奶，擦皮鞋，打麦子。。。又去云游四方，在流浪的日子里，他深刻了解了美国社会的贫富矛盾，形成了倾向社会主义的政治观念，还学会了很多民歌，最终成为了一名民歌手。他和惠特曼一样，是一个地道的草根，热爱民主和林肯总统，这是他以后写那本使他得了第二次普利策奖的林肯传记的最初动机。

院子的后面是一片树林，有一条石板小径，每一块上都刻有他的诗句，路的尽头是一个小花圃，中间是块岩石，他和太太的骨灰就埋在这里。我微微一震，心想我和他到底有什么神秘的牵连呢？他的一首诗把我领到了芝加哥，成为我异国的家乡，今天，我又鬼使神差地来到了他的诞生地和墓园。

我办公室的后面是昔日的城区法院，厚实黯淡的石头，粗大的圆柱拱门，精致繁琐的镂花，这座罗马风格的建筑依然有着当年的威严，这里曾是审理过许多芝加哥历史上最著名的案子的法庭。白驹过隙，时光不再，今天已成为一个一般的办公楼，我天天经过，从没有好奇过。可不久前有一天中午，我突然有一种强烈的愿望想进去看看，里面依旧是百年前的模样，前庭椭圆形的墙上是一排当年的照片，第一张就是年轻的桑德堡坐在法庭上。原来，1908年，30岁的他刚刚结婚，在芝加哥日报做记者，每天都要到这里报道法庭的新闻。他肯定不知道100年后，一个因他而来到芝加哥的东方女人，会在这里久久站着，默默无语地思索着命运的奥妙。

一个深秋的午后，我开车去北卡的阿什维亚。经过了一条河，我想起了托马斯.伍尔夫在他的《天使，望故乡》里是这样描写这条河的：“太阳越变越红，在一条长河的那边渐渐落下，把河岸的岩石染的鲜红；这就是有名的田纳西河峡，这幅奇幻的景色蜿蜒到这个孩子的脑海里，留下了永不磨灭的印象。许多年后，他在睡梦中还记得这条河，为他带来精灵古怪，神妙莫测的美 ”。沿着大烟山脉，我来到了伍尔夫的家乡，我是来寻找天使的。

天使是老甘德一生的梦想。15岁的他在巴尔的摩的一条街上的橱窗里看到了一块标志死亡的大理石，是踮着一双冰凉瘦小的脚的石头天使，嘴边还含着一丝温柔凝滞的微笑。他的眼里闪着死人生前饥饿的火光，立刻走进了店里。5年后，他出来了，他学会了刻鸽子，绵羊，长翅膀的仙童和死神天衣无缝的双手，以及各式精细曼妙的字体，可就是不会刻天使。造化弄人，他流落到南方，娶了一个天性悭吝，热爱钱财的苏格兰女人，生了一堆孩子，托马斯就是他最小的儿子，开了一个墓碑铺子为生。他从意大利进口了几个大理石的天使， 散落在他的铺子前面，卖给他的和他一起向往天使的死人客人。很多年前，我在北京的一个小书店里发现了这本书，从此，天使也成了我的梦想，我带着这本书漂洋过海，终于，来到这里，为的是一睹芳容。

这是一个古老的墓地，秋阳下，树叶斑斓，枝丫纵横。 我看到那个天使了，她的手里拿着一根石雕的长颈百合，另一只手微微举起，弯曲的卷发垂在肩上，宽松的衣袍里好似有风吹过。

可一转眼，在伍尔夫的纪念馆，我却惊讶无比地看到一张桑德堡站在这个天使前面的照片，原来，他在1960年也来到这里，寻找天使。那一霎间，我真的相信那冥冥之中联结我们的力量和命运就是这个超越死亡和时空的天使。

此时此刻，我坐在我芝加哥家里的阳台上，望着街对面的一座维多利亚式姜黄色的房屋。老屋有着高高的尖顶阁楼，粗大的烟囱，宽敞的前廊上有摇椅，地板被漆成诡异的孔雀绿色，院子里的一蓬蓬的白色丁香和紫色蔷薇，在夕阳下暗香浮动。这里曾是好莱坞著名剧作家本•赫克特的家，他早年在《芝加哥日报》作记者时，就住在这个房子里写了很多谋杀案的故事。当年，这里是芝加哥文化界的沙龙，桑德堡是这里的常客，透过那在晚风里微微掀起的蕾丝窗帘，我看到了他在朗诵他的诗：

哦大草原母亲，我是你的一个孩子。
我热爱大草原，心中充满痛苦的爱。
我在这里不追求任何东西．只盼望再一个日出，—
个燃烧在天空的月亮，一轮明月倒映在河水之中。

版画大师艾雪，数学家曼德勃罗和拓扑学

（三）殊途同归拓扑学

艾雪和曼德勃罗看似毫无联系，一个是画家，一个是数学家。天真的画家一生都孩子般的排列着神秘的线条，描绘一个不存在的世界，执着的数学家时时在玩弄无尽的数字，由此创造出一个辉煌的宇宙。可就在某一刻，某一点，他们相遇了，在拓扑学的国度。

哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪时，这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置？1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。

1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。” 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。

这两个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念，这些就是“拓扑学”的先声。

拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。
拓扑学是数学中一个重要的、基础性的分支。它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变，如同艾雪的画面和曼德勃罗集。在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。

拓扑学起初叫形势分析学，是莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期，黎曼在复函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。

连续性和离散性是自然界与社会现象中普遍存在的。拓扑学对连续性数学是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推动作用。拓扑学的基本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和方法在物理学、生物学、化学等学科中都有直接、广泛的应用。

版画大师艾雪，数学家曼德勃罗和拓扑学

（二）本徍德。曼德勃罗（Benoît B. Mandelbrot）

云彩不是球形，山不是锥体，海岸线不是圈子，并且吠声不是光滑的，亦不在一条直线闪电旅行。
----曼德勃罗

曼德勃罗一九二四年生于波兰的华沙，他的祖先是利宛陶的犹太人。德国人入侵了波兰，他们就逃到了法国。曼德勃罗的妈妈是个医生，爸爸是个商人，叔叔是个巴黎有名的数学家，把他领到了数字的王国。

他在法国读了数学博士，又在加州理工学院研究航空学，在法国国家科学研究中心做研究员。出生于匈牙利的美国籍犹太人数学家，现代电子计算计创始人之一的约翰•冯•纽曼资助他一笔钱，他又到了普林斯顿高等研究院做了博士后，那一年，爱因斯坦因主动脈瘤破裂逝世于此。后来，他结了婚，就和太太移民来到美国，加盟IBM,一作就是三十多年，退休后又被聘为耶鲁的数学教授。

曼德勃罗研究的领域非常广泛，数学，信息学，经济学，宇宙学，流体动力学。。。因为他发现在这些学科里，共同的问题是概率论里的fat tails 和self-similar的结构。比如说，在股票市场，他意识到股价的变化并不是人们认可的高斯分布，而是雷维偏阿尔法的稳定分布。

奧伯斯佯谬由德国天文学家奧伯斯于1823年提出，是指若宇宙是稳恒态而且无限的，晚上则因该是光亮而不是黑暗的，而黑暗的夜晚印证了宇宙是非稳恒态的，这正是大爆炸理论的证据之一。目前被接收的解释是宇宙的年齡的有限以及红移作用，诗人爱伦•坡在1848年的我得之矣(一首散文詩)中就写道：

“星星是连续不尽的，然后背景的天空將呈现一致的光亮，就像银河所显示的-–因为不会有绝对的点，在那所有的背景中，星星将不复存在。因此，在那些，在这样的事态下，唯一的模式，我们可以体会到望远镜在无数的方向上发现空隙，將假设无形的背景，因为距离的遙远，光芒从未能到达我们。”

红移是大爆炸本身的辐射因宇宙膨胀的缘故，已经红移到微波的波长，成为宇宙的微波背景辐射。宇宙的膨胀也限制了可观测宇宙的大小，在此之外的光线到不了我们所在之处，这在光学效应下创造了有限的宇宙。

可曼德勃罗提出了另一种不需基于大爆炸理论的解释。他指出若星体是以“分形”方式在宇宙间分布，类似康特尘埃, 不用大爆炸理论也能解释奧伯斯佯谬。

那什么是分形呢？

据曼德勃罗自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在此以前，他一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。他是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。

分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的，可在不同尺度上，图形的规则性又是相同的，海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。

曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：

（1）满足下式条件：Dim(A)>dim(A) 的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。

（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。

然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。曼德勃罗集是无限的，反复的次数越多，无穷复杂的图形就会越来越令人惊异地表现出来。

因着分形的概念，随之产生了科学与艺术的完美结合的分形艺术，分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索，使人们觉悟到数学与艺术审美上的统一，将枯燥深奥的数学表达为眩目的图形。

“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”著名物理学家惠勒如是说。

版画大师艾雪，数学家曼德勃罗和拓扑学

（一）毛瑞特斯‧柯奈利斯‧艾雪(Maurits Cornelis Escher)

我要表达的事物是如此美丽和单纯。
---艾雪

艾雪是荷兰版画家，生于一八九八年，一九七二年去世。

他的家乡在荷兰北面的雷欧瓦德市，爸爸是个工程师，家境富裕。7岁开始学画，弹钢琴。再大一些，喜欢文学和诗歌，他读了很多书，尤其热爱俄罗斯作家陀斯妥也夫斯基，果戈尔。20岁时，遇见了教大自然素描和版画艺术的老师梅斯魁塔，在老师的引领下，艾雪找到了他自己最钟情的艺术形式：版画和木刻。

梅斯魁塔是犹太人，二战期间被纳粹抓去，从此未曾回来，艾雪设法把他的作品找地方藏起來，后来在阿姆斯特丹的市立美术馆举办了一次纪念展。一九二三年，艾雪在意大利结识了燕塔‧尤米克，然后結婚，定居罗马。

一九二四年二月，艾雪第一次在荷兰海牙的向日葵画廊举行画展。

艾雪的版画，主要分为兩个阶段：一九三六年之前的作品包括肖像、动植物和风景，线条流动、富有文学性和音乐感。版画《燕塔》是他太太的肖像，温柔地低着头，手里拿着一朵玫瑰花；《婴儿亚瑟》是他的儿子，粉红的底色，白色蕾丝的枕头，被子和圆头圆脸的孩子；沙漠里蓬勃的棕榈树，海面上渐行渐远的汽船和亘古遥远如梦幻般的巴比塔。

一九三六年是他突然转变画风的一年，由写实变为了抽象。他二哥贝尔是个古生物学和晶体学教授，寄給他一本有关平面分割的书。他边看书边揣摩晶体結构。一九三七年的木刻《变形》标志着他几乎完全放弃了具象形式的表达，转而朝平面分割的深层探索。

一九三九年十一月至一九四○年三月，艾雪完成十三英尺尺的木刻《变行II》，这是一组连续的插图：从“变形”的英文字子母开始，经过一系列的联想和渐变，最后结束在意大利阿特拉尼城的一段记忆及一个棋盘，又回到“变形”的英文字母，正好是一圈循环。

艾雪的作品里，鸟儿、鱼和青蛙有特殊的象征性：分别代表了空气，水和土地。另外，白色代表白昼，黑色代表黑夜。他非常喜欢球状的形体，从小就着迷于那种意境，曾写过他淋雨回到家，看见身上鞋上一粒粒雨珠子，就像是一颗颗闪烁发光的水晶球。水晶球在他的画面上不时出现，或者整幅画就是一个球形。如同吉普赛的占卜人，水晶球可以令人随心所欲地看到未来的世界。那里有他至死不渝的美丽梦幻。

一九五○年之后，他在想象和真实之间徘徊。他相信想象是存在的，以不同的意象來描述梦，思想，或人们观察思考空間的存在形式。並在一数学家的影响下，用由小而大或由大而小的无限扩展的结构表现作品，试图解答无限的数量与空间，三维空间的范围和螺旋，球和水的反射镜像，多面体的倒置转换，平面与立体的冲突，相对性与不可能存在的建筑物等问题。也就是说：他画出了主观空间与客观空间，不可能存在的存在之间的逻辑思维。

比如说：他的《上与下》，图形上方是上面窗台上，有人俯身往下望，看到的是坐在楼梯上的人及地面；图形下端则是坐在楼梯上的人抬头向上瞧，看见的是窗台上的人和天花板。上下部分都没有问题，但是合起来的话，其间的关系却无法解释。《向上与往下》，两队士兵在一座城堡里走楼梯，一对士兵一直是上爬，累得要死；另一对的士兵往下走，轻松自在。按正常道理两对人应该越来越远，但是途中这两对人却走成了循环。《水车》，水渠里的水从近＇往源流，通过直泻而下的瀑布落下，又回到了水渠原点。《蛇》是他最后的作品。画中的蛇看起来很逼真，但却完全是画家臆造出来的一种主观存在的意识表现。
艾雪说，巴哈的音乐具有理性，数学的秩序和形式的精密。他作品中的对称性，反复性，连续性和不停地在秩序的扩展和巴哈的赋格和对位有着直接的联系。一是在音乐上，另一在画中，表现了优美安祥和平的节奏和节奏的流动。

纳什

1950年和1951年纳什的两篇关于非合作博弈论的重要论文，彻底改变了人们对竞争和市场的看法。他证明了非合作博弈及其均衡解，并证明了均衡解的存在性，即著名的纳什均衡。从而揭示了博弈均衡与经济均衡的内在联系。纳什的研究奠定了现代非合作博弈论的基石，后来的博弈论研究基本上都沿着这条主线展开的。然而，纳什天才的发现却遭到冯·诺依曼的断然否定，在此之前他还受到爱因斯坦的冷遇。但是骨子里挑战权威、藐视权威的本性，使纳什坚持了自己的观点，终成一代大师。要不是30多年的严重精神病折磨，恐怕他早已
站在诺贝尔奖的领奖台上了，而且也绝不会与其他人分享这一殊荣。

纳什是一个非常天才的数学家，他的主要贡献是1950至1951年在普林斯顿读博士学位时做出的。然而，他的天才发现———非合作博弈的均衡，即“纳什均衡”并不是一帆风顺的。

1948年纳什到普林斯顿大学读数学系的博士。那一年他还不到20岁。当时普林斯顿可谓人杰地灵，大师如云。爱因斯坦、冯·诺依曼、列夫谢茨(数学系主任)、阿尔伯特·塔克、阿伦佐·切奇、哈罗德·库恩、诺尔曼·斯蒂恩罗德、埃尔夫·福克斯……等全都在这里。博弈论主要是由冯·诺依曼(1903—1957)创所立的。他是一位出生于匈牙利的天才的数学家。他不仅创立了经济博弈论，而且发明了计算机。早在20世纪初，塞梅鲁(Zermelo)、鲍罗(Borel)和冯·诺伊曼已经开始研究博弈的准确的数学表达，直到1939年，冯·诺依曼遇到经济学家奥斯卡·摩根斯特恩(Oskar Morgenstern)，并与其合作才使博弈论进入经济学的广阔领域。

1944年他与奥斯卡·摩根斯特恩合著的巨作《博弈论与经济行为》出版，标志着现代系统博弈理论的的初步形成。尽管对具有博弈性质的问题的研究可以追溯到19世纪甚至更早。例如，1838年古诺(Cournot)简单双寡头垄断博弈；1883年伯特兰和1925年艾奇沃奇思研究了两个寡头的产量与价格垄断；2000多年前中国著名军事家孙武的后代孙膑利用博弈论方法帮助田忌赛马取胜等等都属于早期博弈论的萌芽，其特点是零星的，片断的研究，带有很大的偶然性，很不系统。冯·诺依曼和摩根斯特恩的《博弈论与经济行为》一书中提出的标准型、扩展型和合作型博弈模型解的概念和分析方法，奠定了这门学科的理论基础。合作型博弈在20世纪50年代达到了巅峰期。然而，诺依曼的博弈论的局限性也日益暴露出来，由于它过于抽象，使应用范围受到很大限制，在很长时间里，人们对博弈论的研究知之甚少，只是少数数学家的专利，所以，影响力很有限。正是在这个时候，非合作博弈———“纳什均衡”应运而生了，它标志着博弈论的新时代的开始！纳什不是一个按部就班的学生，他经常旷课。据他的同学们回忆，他们根本想不起来曾经什么时候和纳什一起完完整整地上过一门必修课，但纳什争辩说，至少上过斯蒂恩罗德的代数拓扑学。斯蒂恩罗德恰恰是这门学科的创立者，可是，没上几次课，纳什就认定这门课不符合他的口味。于是，又走人了。然而，纳什毕竟是一位英才天纵的非凡人物，他广泛涉猎数学王国的每一个分支，如拓扑学、代数几何学、逻辑学、博弈论等等，深深地为之着迷。纳什经常显示出他与众不同的自信和自负，充满咄咄逼人的学术野心。1950年整个夏天纳什都忙于应付紧张的考试，他的博弈论研究工作被迫中断，他感到这是莫大的浪费。殊不知这种暂时的“放弃”，使原来模糊、杂乱和无绪的若干念头，在潜意识的持续思考下，逐步形成一条清晰的脉络，突然来了灵感！这一年的10月，他骤感才思潮涌，梦笔生花。其中一个最耀眼的亮点就是日后被称之为“纳什均衡”的非合作博弈均衡的概念。纳什的主要学术贡献体现在1950年和1951年的两篇论文之中(包括一篇博士论文)。1950年他才把自己的研究成果写成题为“非合作博弈”的长篇博士论文，1950年11月刊登在美国全国科学院每月公报上，立即引起轰动。说起来这全靠师兄戴维·盖尔之功，就在遭到冯·诺依曼贬低几天之后，他遇到盖尔，告诉他自己已经将冯·诺依曼的“最小最大原理”(minimax solution)推到非合作博弈领域，找到了普遍化的方法和均衡点。盖尔听得很认真，他终于意识到纳什的思路比冯·诺伊曼的合作博弈的理论更能反映现实的情况，而对其严密优美的数学证明极为赞叹。盖尔建议他马上整理出来发表，以免被别人捷足先登。纳什这个初出茅庐的小子，根本不知道竞争的险恶，从未想过要这么做。结果还是盖尔充当了他的“经纪人”，代为起草致科学院的短信，系主任列夫谢茨则亲自将文稿递交给科学院。纳什写的文章不多，就那么几篇，但已经足够了，因为都是精品中的精品。这一点也是值得我们深思的。国内提一个教授，要求在“核心的刊物”上发表多少篇文章。按照这个标准可能纳什还不一定够资格。

心情

最近，真的很忙。想多走走路，就坐一半的车。8个小时写程序满满的，下了班就在辉煌一里路上慢慢逛，有时看见路边的酒吧咖啡，也会进去坐坐。今天到Whole Food买了一块西班牙的枣泥核桃糕，不如中国的好吃，可能是油不多，还买了一盒cocktail shrimp, 各种风味的。

好久不和任何人联系，习惯了，反而轻松。上周又把房子买了，反正有的是事做。

只是很想Tom和他的新儿子。前一段地震时，他给我写信，问我如何，我才知道他也一直很想我。坐在车上，想想很疼，我们俩都疼， 可又很欣慰，毕竟有个人对你如此牵肠挂肚，你也时时惦记他。

Knuth and Knuth's humor

我第一天去见我的研究生导师，他给了我一套Donald E. Knuth的 “The Art of Computer Programming”，让我先读了这本书再说。

《计算机程序设计艺术》重译自Donald E. Knuth(汉名高德纳)的三卷著作："The Art of Computer Programming: 1. Fundamental Algorithms; 2. Seminumerical Algorithms; 3. Sorting and Searching"；三卷中文名为《基本算法》、《半数值算法》及《排序与查找》。

这本书内容博大精深，作者因为三卷书获得美国计算机协会1974年图灵奖(该奖被国际公认为计算机科学领域的最高奖项)。

作者D. E. Knuth是在计算机学界十分著名的学者，在本领域享有很高权威和盛名，他的这部著作是无数计算机专业人员的学习教材和参考读物，也是许多专业研究工作者经常阅读的经典，已被翻译为几十种文字在世界各地出版，英文原版书已经是第11次印刷。

该书1999年底被American Scientist列为20世纪最佳12部学术专著之一(与狄拉克的量子力学、爱因斯坦的相对论、曼德布罗特的分形论、鲍林的化学键、罗素和怀特海德的数学基础、冯诺意曼和摩根斯坦的博弈论、维纳的控制论、伍德沃和霍夫曼的轨道对称性、费曼的量子电动力学等科学史上的经典著作并列)。

Donald E. Knuth，1938年出生于Wisconsin。1960年，当他毕业于Case Institute of Technology数学系时，因为成绩过于出色，被校方打破历史惯例，同时授予学士和硕士学位。他随即进入大名鼎鼎的加州理工学院数学系，仅用三年时间便取得博士学位，此时年仅25岁。

毕业后留校任助理教授，28岁时升为副教授。30岁时，加盟斯坦福大学计算机系，任正教授。从31岁那年起，他开始出版他的历史性经典巨著：The Art of Computer Programming。他计划共写7卷，然而仅仅出版三卷之后，已经震惊世界，使他获得计算机科学界的最高荣誉Turing Award，此时，他年仅36岁。后来，此书与牛顿的“自然哲学的数学原理”等一起，被评为“世界历史上最伟大的十种科学著作”之一。相信学过数据结构和编译原理的人都知道KMP算法和LR(K)算法有多么不可思议，然而此书中这样的算法比比皆是！

Knuth获得图灵奖时为36岁，他是历史上最年轻的图灵奖获得者，甚至有可能永远把这个记录保持下去。

Knuth会弹管风琴，慧元对他很有研究；对《圣经》也有极深刻的研究，写了专著。

他以他独特的幽默感闻名：

Knuth is a famous programmer known for his professional humor.


One of Knuth's reward checksHe pays a finder's fee of $2.56 for any typographical errors or mistakes discovered in his books, because "256 pennies is one hexadecimal dollar". (His bounty for errata in 3:16 Bible Texts Illuminated, is, however, $3.16). According to an article in MIT's Technology Review, these reward checks are "among computerdom's most prized trophies".

Version numbers of his TeX software approach the transcendental number π, that is versions increment in the style 3, 3.1, 3.14 and so on. Version numbers of Metafont approach the number e similarly.

He once warned users of his software, "Beware of bugs in the above code; I have only proved it correct, not tried it.

All appendices in the Computers and Typesetting series have titles that begin with the letter identifying the appendix.

TAOCP v3 (Second Edition) has the index entry "Royalties, use of, 407". Page 407 has no explicit mention of royalties, but however does contain a diagram of an "organ-pipe arrangement" in Figure 2. Apparently the purchase of the pipe organ in his home was financed by royalties from TAOCP.(In the first edition of the work, the relevant page is 405.)

From the Preface of Concrete Mathematics: When Knuth taught Concrete Mathematics at Stanford for the first time, he explained the somewhat strange title by saying that it was his attempt to teach a math course that was hard instead of soft. He announced that, contrary to the expectations of some of his colleagues, he was not going to teach the Theory of Aggregates, nor Stone's Embedding Theorem, nor even the Stone-Čech compactification. (Several students from the civil engineering department got up and quietly left the room.)

Knuth published his first "scientific" article in a school magazine in 1957 under the title "Potrzebie System of Weights and Measures." In it, he defined the fundamental unit of length as the thickness of MAD magazine #26, and named the fundamental unit of force "whatmeworry". MAD magazine bought the article and published it in the #33 June 1957 issue.

Knuth's first "mathematical" article was a short paper submitted to a "science talent search" contest for high-school seniors in 1955, and published in 1960, in which he discussed number systems where the radix was negative. He further generalized this to number systems where the radix was a complex number. In particular, he defined the quater-imaginary number system, which uses the imaginary number 2i as the base, having the unusual feature that every complex number can be represented with the digits 0, 1, 2, and 3, without a sign.

Knuth's article about computational complexity of songs was reprinted twice in computer science journals.

黑客理查德·马修·斯托曼

目前，在计算机工业里方兴未艾的开放源代码(open source)和自由软体(Free Software)运动来自于一位叫理查德·马修·斯托曼的黑客。

黑客是英文‘hacker’的汉译。主要是指对计算机科学，尤其是软件编程方面具高度理解的人。

斯托曼1953年出生于美国纽约曼哈顿地区的犹太人家庭，1971年进入哈佛大学学习，同年受聘于麻省理工学院人工智能实验室（AI Laboratory）。在AI实验室工作期间，斯托曼开发了多种软件，其中最著名的就是Emacs。说得通俗一点，Emacs就是一个编辑软件，如同我们今天用的微软的办公室。

Emacs不仅仅是一个编辑器，还是个集成开发环境，它的功能有：收发电子邮件，通过FTP/TRAMP编辑远程档案， 通过Telnet登录主机，上新闻组，登陆IRC和朋友交流，查看日历，撰写文章大纲，对多种编程语言的编辑，调试程序，结合GDB，EDebug，玩游戏，计算器，记日记，煮咖啡，管理日程等等。

斯托曼在AI是一名典型的黑客，是整个黑客文化的一份子。在黑客世界里，各组织的精神与文化都是不相同的，但有一个共同点就是对技术的崇拜与对创新的不断追求和推动自由软件运动，发现漏洞并通知协助管理员修补从而缔造“完美”无暇的软件，这是黑客们最热爱的一种精神与文化。所谓自由软件就是一种可以不受限制地自由使用，复制、研究、修改和分法的软件。

然而进入八十年代后，黑客社群在软件工业商业化的强大压力下日渐土崩瓦解，甚至连AI实验室的许多黑客也组成了Symbolic公司，试图以专利软件来取代实验室中黑客文化的产物－－可自由流通的软件。

斯托曼对此感到气愤与无奈。在对Symbolic进行了一段时间的抗争后，他于1985年发表了著名的GNU宣言(GNU Manifesto)，正式宣布要开始进行一项宏伟的计划：创造一套完全自由，兼容于Unix的操作系统GN（GNU's Not Unix!），之后他又建立了自由软件基金会来协助该计划。

他于1989年与一群律师起草了广为使用的GNU通用公共协议证书（GNU General Public License, GNU GPL），创造性地提出了“Copyleft”的概念。 Copyleft是一种在现有著作权体制下的授权方式，它要求使用者必须要以同等的授权方式回匮社群。虽然与常见的著作权模式不同，但並未放弃著作权，而是利用著作权法律來促进创作自由，並未反对著作权的基本体制。

1990年代中期，斯托曼把他大部時间花在为自由软件辩护，对抗软件概念专利及版权法的扩张。他仍在程式設计方面奉献的心力都放在GNU Emacs。他的演讲当中大约半数有收入，这让他能夠活自己。

他最大的影响是为自由软件运动建立了道德、政治以及法律框架。他被许多人誉为当今自由软件的斗士、伟大的理想主义者。